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特殊数判定器

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特殊数说明：

1. 完全数（Perfect Number）：
完全数是指所有真因子（即除了自身以外的正因子）之和等于它本身的正整数。
σ(n) = 2n，其中 σ(n) 是 n 的所有因子（包括自身）之和
  • 例子：6 = 1 + 2 + 3（因子：1, 2, 3）
  • 例子：28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14（因子：1, 2, 4, 7, 14）
  • 已知完全数：6, 28, 496, 8128, 33550336...
  • 欧几里德-欧拉定理：如果 2^p - 1 是质数（梅森质数），则 2^(p-1) × (2^p - 1) 是完全数
  • 未解之谜：是否存在奇完全数？目前仍未找到
2. 友好数（Amicable Numbers）：
友好数是一对数字，其中每个数的真因子之和等于另一个数。
σ(a) - a = b 且 σ(b) - b = a，其中 a ≠ b
  • 例子：220 和 284 是友好数对
  • 220 的真因子：1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110，和为 284
  • 284 的真因子：1, 2, 4, 71, 142，和为 220
  • 其他友好数对：(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564)...
  • 历史：毕达哥拉斯学派在公元前6世纪就已知 220 和 284 这对友好数
3. 阿姆斯特朗数（Armstrong Number / 自恋数）：
阿姆斯特朗数是指一个 k 位数，它的每个位上的数字的 k 次幂之和等于它本身。
n = d₁^k + d₂^k + ... + dₖ^k，其中 k 为数字位数
  • 1位数：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9（所有个位数都是阿姆斯特朗数）
  • 3位数：153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
  • 3位数：370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
  • 3位数：371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
  • 3位数：407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
  • 4位数：1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256
  • 4位数：8208, 9474
  • 总数：只有有限个阿姆斯特朗数（88个已知）

算法复杂度：

  • 完全数检测：O(√n) - 需要找到所有因子
  • 友好数检测：O(√n) - 需要计算真因子之和并检查配对
  • 阿姆斯特朗数检测：O(k) - k 为数字位数，需要遍历每一位

注意事项：

  • 完全数非常稀少，目前只发现 51 个（截至2024年）
  • 友好数检测对于大数字可能需要较长时间，因为需要计算因子和
  • 阿姆斯特朗数的检测相对快速，但总数有限
  • 1 不被认为是完全数，尽管它的真因子之和为0