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高次多项式因式分解

多项式输入

示例多项式：

输入格式说明：

幂次表示： 使用 ^ 符号，如 x^2、x^3
乘法表示： 必须使用 * 号，如 2*x^2、-3*x
加减法： 使用 + 和 - 连接各项
常数项： 直接写数字，如 + 6、- 12

因式分解结果

输入多项式后点击"开始因式分解"

算法说明：

1. 有理根定理（Rational Root Theorem）：
对于整系数多项式 a_n·x^n + ... + a_1·x + a_0，如果存在有理根 p/q（最简形式），则：
  • p 必须是常数项 a_0 的因子
  • q 必须是首项系数 a_n 的因子
  • 可能的有理根为：±(p的因子)/(q的因子)
  • 示例：对于 x³ - 6x² + 11x - 6，可能的有理根为 ±1, ±2, ±3, ±6
2. 综合除法（Synthetic Division）：
用于验证根并进行多项式除法：
  • 如果 r 是多项式 P(x) 的根，则 P(x) = (x - r)·Q(x)
  • 通过综合除法可以快速得到商多项式 Q(x)
  • 继续对 Q(x) 进行因式分解，直到无法分解
3. 数值求根法：
当有理根定理无法找到整数根时，使用数值方法：
  • 牛顿迭代法：x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
  • 用于求解实数根（可能是无理数）
  • 对于复数根，显示实部和虚部
  • 示例：x² - 2 = (x - √2)(x + √2)
4. 特殊形式识别：
  • 平方差：a² - b² = (a + b)(a - b)
  • 完全平方：a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
  • 立方差/和：a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
  • 提取公因式：如 x³ + 2x² = x²(x + 2)

算法复杂度：

  • 有理根搜索：O(d·n)，其中 d 是可能根的数量，n 是多项式次数
  • 综合除法：O(n) 每次除法
  • 数值求根：O(k·n)，其中 k 是迭代次数

注意事项：

  • 仅支持整数系数的多项式
  • 对于高次多项式（≥5次），可能无法完全分解为有理根
  • 数值解可能存在舍入误差，显示为近似值
  • 复数根以 a + bi 形式显示
  • 不可约多项式会显示为原式